Potencia - Radical - Logaritmo

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$Potencia$:

es un producto formado por sucesivas multiplicaciones de un número, letra ó expresión algebraica por sí misma.

$a^n=a.a.a.a.a...........n$ veces     en donde:
$a$ = base  ;  $n$ = exponente     $\to a.a.a.a.a.a. = a^6$    sencillito, no?

Si conocemos los números naturales $\mathbb{N}$, enteros $\mathbb{Z}$, racionales $\mathbb{Q}$ y reales $\mathbb{R}$ y sus propiedades, sabemos cómo trabajar con éllos:

• Si   $a\in\mathbb{R}$  y  $n\in\mathbb{N}$    $\longrightarrow$  $(\sqrt{8})^3 = \sqrt{8}\bullet\sqrt{8}\bullet\sqrt{8} = 8\sqrt{8} = 16\sqrt{2}\in\mathbb{R}$
• Si   $a\in\mathbb{R}$  y  $n\in\mathbb{Z^-}$  $\longrightarrow$  $(\frac{1}{2})^{-3}$  =  $(\frac{2}{1})^3$  =  $2^3$  =  $8\in\mathbb{R}$
• Si   $a\in\mathbb{R}$  y  $n\in\mathbb{Q}$  $\longrightarrow$  $(-8)^{\frac{1}{3}}$  =  $\sqrt[3]{-8}$ = ${-2}\in\mathbb{R}$
• Si   $a\in\mathbb{R}$  y  $n\in\mathbb{Q}$  $\longrightarrow$  $(-2)^{\frac{1}{2}}$  =  $\sqrt{-2}$  $\not\in\mathbb{R}$

De lo anterior deducimos:

1. $Radicación$, que es la operación de extraer raíces, es una potencia con exponente fraccionario.
2. $Una\; operación\; con\; potencias$, donde el resultado es la raiz par de un número negativo, no pertenece al conjunto de los números reales.

Conociendo la base y el exponente tenemos un resultado; ahora, qué sucede cuando conocido el resultado y la potencia, nos piden hallar la base $x^3={8}$; exacto...!! despejamos $x=\sqrt[3]{8}={2}$. 
Conclusión: la potenciación y la radicación son operaciones inversas.

Si el resultado y la base son conocidos y nos piden hallar el exponente $({2})^x={8}$; exacto...!! volvemos a despejar pero de una manera diferente, usamos el logaritmo. $$x=\log_{2}{8}$$ pero, ¿qué cosa es esa?

"el logaritmo de $algo$ es el número, al cual hay que elevar la base, para obtener ese $algo$"

Solo falta pensar:

¿cuál es el número, al cual debo elevar $2$, para obtener $8$?

obvio verdad... $3$...!!   $\rightarrow x=3$

Conclusión: la potenciación y la logaritmación también son operaciones inversas. Solo debo tener presente que no podemos trabajar con bases negativas; es decir, siempre: $a>0\; y\; a\ne{1}$

Espero que con estos tips, y con todo lo que ustedes ya saben, estén lo suficientemente capacitados para resolver cualquier tipo de problemas usando estas siete ${(07)}$ operaciones. Acuérdense que a las cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división se le ha sumado: potenciación, radicación y logaritmación.