¿Cuántos Enteros Positivos Dividen al Factorial de un Número?

Vamos a ir paso a paso para comprender lo que nos piden:

•  factorial de un número es el producto del propio número con todos los enteros positivos que son menores que él.
  
  $n!=n*(n-1)*(n-2)...*2*1$  →  $5!=5.4.3.2.1=120$
  
  • El resultado es un número entero positivo 
   
• divisor de un número es el número que divide exactamente a otro.
  $5$ es divisor de $20$ por que lo divide exactamente → $20/5=4$.
  
  •  El resultado también es un número entero positivo 
   
• Para saber la cantidad de enteros positivos que son divisores de un número, hacemos uso de la siguiente definición: se multiplican los exponentes de los factores primos de su descomposición factorial, aumentados en una unidad.
  
  • Si queremos saber cuántos divisores tiene el número $4!$ lo descomponemos como el producto de sus factores primos → $4!=24=2^3*3$
  • Hacemos uso de la definición → $(3+1)*(1+1)=4*2=8$, que son; ${1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$
• Si queremos ampliar nuestros conocimientos, podemos hacer uso del siguiente PDF Calculo de los divisores de un número
• Verificar con Sage Cell Server

para verificar, haga click en “Evaluate”.

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Puedes hacer uso de Sage Cell Server para saber: ¿Cuántos y cuáles son los divisores de 40!?
Pasos:
1.- Escribe el comando para hallar 40! y haz click en "Evaluate"
→ 815915283247897734345611269596115894272000000000
2.- Escribe el comando para factorizar el resultado y haz click en "Evaluate"
→ 2^38 * 3^18 * 5^9 * 7^5 * 11^3 * 13^3 * 17^2 * 19^2 * 23 * 29 * 31 * 37
3.- Escribe el comando para multiplicar los factores primos aumentado una unidad y haz click en "Evaluate"
→ 102435840  este es el número de divisores de 40!
4.- Si intentamos averiguar los divisores, obviamente, da un error ya que tendría que mostrar $102.435.840$ de números que dividen, exactamente, a $40!$. Inténtalo.

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