domingo, 3 de mayo de 2015

¿Cuántos Enteros Positivos Dividen al Factorial de un Número?

Vamos a ir paso a paso para comprender lo que nos piden:

  •  factorial de un número es el producto del propio número con todos los enteros positivos que son menores que él.

    n!=n(n1)(n2)...21  →  5!=5.4.3.2.1=120
    • El resultado es un número entero positivo 
     
  • divisor de un número es el número que divide exactamente a otro.
    5 es divisor de 20 por que lo divide exactamente → 20/5=4.
    •  El resultado también es un número entero positivo 
     
  • Para saber la cantidad de enteros positivos que son divisores de un número, hacemos uso de la siguiente definición: se multiplican los exponentes de los factores primos de su descomposición factorial, aumentados en una unidad.
    • Si queremos saber cuántos divisores tiene el número 4! lo descomponemos como el producto de sus factores primos → 4!=24=233
    • Hacemos uso de la definición → (3+1)(1+1)=42=8, que son; 1,2,3,4,6,8,12,24
  • Si queremos ampliar nuestros conocimientos, podemos hacer uso del siguiente PDF Calculo de los divisores de un número
  • Verificar con Sage Cell Server
para verificar, haga click en “Evaluate”.

Puedes hacer uso de Sage Cell Server para saber: ¿Cuántos y cuáles son los divisores de 40!?
Pasos:
1.- Escribe el comando para hallar 40! y haz click en "Evaluate"
→ 815915283247897734345611269596115894272000000000
2.- Escribe el comando para factorizar el resultado y haz click en "Evaluate"
→ 2^38 * 3^18 * 5^9 * 7^5 * 11^3 * 13^3 * 17^2 * 19^2 * 23 * 29 * 31 * 37
3.- Escribe el comando para multiplicar los factores primos aumentado una unidad y haz click en "Evaluate"
→ 102435840  este es el número de divisores de 40!
4.- Si intentamos averiguar los divisores, obviamente, da un error ya que tendría que mostrar 102.435.840 de números que dividen, exactamente, a 40!. Inténtalo.

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