Productos Notables 1 - Verificación con Sage

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Son aquellos productos de polinomios cuyo resultado lo podemos desarrollar de manera directa, sin necesidad de realizar las operaciones tradicionales.

·         Cuadrado de una suma:

$(a + b)^2= (a + b)(a + b)$

la operación tradicional sería

→  $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$

→  $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$

que se lee:

«el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo, más, el cuadrado del segundo»

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·         Cuadrado de una diferencia:

$(a - b)(a - b)$
la operación tradicional sería

→ $(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2$

→ $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$

que se lee:

«el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más, el cuadrado del segundo»

·      A las dos expresiones anteriores se les conoce, de forma general, como el cuadrado de un binomio.

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·         Producto de una suma por su diferencia:

$(a + b)(a - b)$
la operación tradicional sería

→ $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2$

→ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

que se lee:

«el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo»

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►Ejemplos:

1.- $(2x^2 + y^2y)(y^3+2x^2)$

Pasos:

→ se identifica la expresión.

Observamos que corresponde al cuadrado de una suma ya que:

$(2x^2 + y^2y)(y^3+2x^2) = (2x^2 + y^3)(2x^2 +y^3)$

→ desarrollar la expresión.

$(2x^2 + y^3)(2x^2 +y^3) = (2x^2 + y^3)^2$

$= (2x^2)^2 + 2(2x^2)(y^3) + (y^3)^2$

$= 4x^4 + 4x^2y^3 + y^6$ █

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2.- $(2ax + 3mx^2 )(-3mx^2 +2xa)$

 $(2ax + 3mx^2 )(2xa - 3mx^2 )$

= (2ax + 3mx2 )(2xa - 3mx2 )

→ producto de una suma por su diferencia

$= (2ax)^2 – (3mx^2 )^2$

$= 4a^2x^2 – 9m^2x^4$ █

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3.- $\left (\frac{3}{2}mp +\left (\frac{- 2}{4}mx^2\right )\right )\left (\frac{-3}{6}mx^2 +\frac{3}{2}mp\right )$

$= \left(\frac{3}{2}mp - \frac{1}{2}mx^2\right )\left(\frac{-1}{2}mx^2 +\frac{3}{2}mp\right)$

$= \left(\frac{3}{2}mp - \frac{1}{2}mx^2\right)\left(\frac{3}{2}mp -\frac{1}{2}mx^2\right)$

$= \left(\frac{3}{2}mp - \frac{1}{2}mx^2\right)^2$

→ cuadrado de una diferencia

$= \left(\frac{3}{2}mp\right)^2 – 2\left(\frac{3}{2}mp\right)\left(ºfrac{1}{2}mx^2\right) +\left(\frac{1}{2}mx^2\right)^2$

$= \frac{9}{4}m^2 p^2 – \frac{3}{2}m^2px^2 + \frac{1}{4}m^2x^4$  █

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→ Usando Sage Cell

click “Evaluate” para verificar.

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$\star\star\star\star\star\star\star$

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