domingo, 23 de marzo de 2014

Resolver Ecuaciones Trigonométricas

Ecuaciones Trigonométricas

Resolver una ecuación es hallar el valor que satisface dicha ecuación; en este caso, el valor que se consigue es el de un ángulo que se expresa en grados o en radianes.

Procedimiento:

  • Se despeja la incógnita haciendo uso del procedimiento usado en las operaciones algebraicas; se deja la incógnita de un lado de la ecuación y se pasa todo lo demás al otro lado, haciendo la operación inversa.
  • Como la incógnita se encuentra en el argumento de la función trigonométrica, para despejarla debemos hacer uso de la función arco, llamada también, función inversa.
  • Si sen(x)=12x=arcoseno(12)=30=π6
  • En nuestras calculadoras se simbolizan las funciones sin,cos,tan y sus inversas sin1,cos1,tan1
  • Si no se especifica nada adicional, el resultado se halla entre 0 y 360º

Ejemplos:

→ Continuación del analizado arriba.
  • La solución hallada para: sen(x)=12, fue la de solo una parte, la que está en el primer cuadrante; pensamos, como el valor del seno es positivo, tenemos que hallar las soluciones positivas y...  donde es positivo el seno? para no llenarnos la cabeza de tablas y cuadritos, hacemos uso de los gráficos y estudiamos su comportamiento.Ahh, ok, el seno, graficado entre 0  y  2π, es positivo entre 0  y  π, es decir, en el primer y segundo cuadrante y los puntos rojos representan las soluciones; de las cuales, solo tenemos un valor, π/6. El otro valor lo hallamos haciendo uso de la conversión del segundo al primer cuadrante: ππ/6=5π/6
  • Podemos verificar la solución haciendo uso de WolframAlpha, escribimos en la ventanita lo siguiente:   "solve sinx = 1/2 for 0 < x < 2pi". te invito a que lo verifíques.
→ Ecuación trigonométrica tipo cuadrática.2sen2(x)+3cos(x)=0

  • la llevamos a un mismo tipo de función haciendo uso de las identidades básicas
  • 2(1cos2(x))+3cos(x)=0  =>  22cos2(x)+3cos(x)=0  =>  2cos2(x)3cos(x)2=0  =>  2(cos(x))23cos(x)2=0 
  • ésta última es una ecuación de segundo grado y de variable cos(x), la resolvemos como se resuelve cualquier ecuación de segundo grado.
  • cos(x)=3±9+164  => cos(x)=3±54  =>  cos(x)1=2  y  cos(x)2=12
  • analizamos; el valor del coseno no puede ser mayor a 1.=> se descarta el valor 2 y se acepta el otro
  • cos(x)=12  =>  x=cos112
  • el coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante; por lo tanto, hallamos el valor de x como si el coseno estuviera en el primer cuadrante y luego llevamos ese valor a los cuadrantes respectivos.
  • x1=60=π3  =>  x2=120=2π3  y  x3=240=4π3
  •  la solución, que son los valores en el segundo y tercer cuadrante, pueden verificarse de la misma forma que antes, usando WolframAlpha con lo siguientes: "Solve 2sin^2x + 3cosx = 0 for 0 < x < 2pi"
  • estos valores se repiten cada vez que se cumple un múltiplo de su período, que en el caso de senos y cosenos es de 2πn, en donde n es el número de períodos
  • por lo anteriormente mencionado, la solución general sería: x2=2π3+2πn
      x3=4π3+2πn

No hay comentarios:

Publicar un comentario