Resolver Ecuaciones Trigonométricas

Ecuaciones Trigonométricas

Resolver una ecuación es hallar el valor que satisface dicha ecuación; en este caso, el valor que se consigue es el de un ángulo que se expresa en grados o en radianes.

Procedimiento:

• Se despeja la incógnita haciendo uso del procedimiento usado en las operaciones algebraicas; se deja la incógnita de un lado de la ecuación y se pasa todo lo demás al otro lado, haciendo la operación inversa.
• Como la incógnita se encuentra en el argumento de la función trigonométrica, para despejarla debemos hacer uso de la función arco, llamada también, función inversa.
• Si $sen(x) = \displaystyle \frac{1}{2}\rightarrow \displaystyle x=arcoseno \left( \frac{1}{2}\right)=30^\circ= \displaystyle \frac{\pi}{6}$
• En nuestras calculadoras se simbolizan las funciones $sin, cos, tan$ y sus inversas $sin^{-1},cos^{-1},tan^{-1}$
• Si no se especifica nada adicional, el resultado se halla entre 0 y 360º

Ejemplos:

→ Continuación del analizado arriba.

• La solución hallada para: $sen(x) = \displaystyle \frac{1}{2}$, fue la de solo una parte, la que está en el primer cuadrante; pensamos, como el valor del seno es positivo, tenemos que hallar las soluciones positivas y...  donde es positivo el seno? para no llenarnos la cabeza de tablas y cuadritos, hacemos uso de los gráficos y estudiamos su comportamiento.Ahh, ok, el seno, graficado entre $0$  y  $2\pi$, es positivo entre $0$  y  $\pi$, es decir, en el primer y segundo cuadrante y los puntos rojos representan las soluciones; de las cuales, solo tenemos un valor, $\pi/6$. El otro valor lo hallamos haciendo uso de la conversión del segundo al primer cuadrante: $$\pi-\pi/6=5\pi/6$$. 
• Podemos verificar la solución haciendo uso de WolframAlpha, escribimos en la ventanita lo siguiente:   "solve sinx = 1/2 for 0 < x < 2pi". te invito a que lo verifíques.

→ Ecuación trigonométrica tipo cuadrática.$$2sen^2(x)+3cos(x)=0$$

• la llevamos a un mismo tipo de función haciendo uso de las identidades básicas
• $2(1-cos^2(x))+3cos(x)=0$  =>  $2-2cos^2(x)+3cos(x)=0$  =>  $2cos^2(x)-3cos(x)-2=0$  =>  $2(cos(x))^2-3cos(x)-2=0$ 
• ésta última es una ecuación de segundo grado y de variable $cos(x)$, la resolvemos como se resuelve cualquier ecuación de segundo grado.
• $cos(x)=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}$  => $cos(x)=\displaystyle \frac{3\pm5}{4}$  =>  $cos(x)_1=2$  y  $cos(x)_2=\displaystyle \frac{-1}{2}$
• analizamos; el valor del coseno no puede ser mayor a 1.=> se descarta el valor 2 y se acepta el otro
• $cos(x)=\displaystyle \frac{-1}{2}$  =>  $x=cos^{-1}\displaystyle \frac{-1}{2}$
• el coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante; por lo tanto, hallamos el valor de $x$ como si el coseno estuviera en el primer cuadrante y luego llevamos ese valor a los cuadrantes respectivos.
• $x_1=60^\circ= \displaystyle \frac{\pi}{3}$  =>  $x_2=120^\circ= \displaystyle \frac{2\pi}{3}$  y  $x_3=240^\circ= \displaystyle \frac{4\pi}{3}$
•  la solución, que son los valores en el segundo y tercer cuadrante, pueden verificarse de la misma forma que antes, usando WolframAlpha con lo siguientes: "Solve 2sin^2x + 3cosx = 0 for 0 < x < 2pi"
• estos valores se repiten cada vez que se cumple un múltiplo de su período, que en el caso de senos y cosenos es de $2 \pi n$, en donde $n$ es el número de períodos
• por lo anteriormente mencionado, la solución general sería: $$x_2= \displaystyle \frac{2\pi}{3}+2 \pi n$$  $$x_3= \displaystyle \frac{4\pi}{3}+2 \pi n$$