Ecuaciones Trigonométricas
Resolver una ecuación es hallar el valor que satisface dicha ecuación; en este caso, el valor que se consigue es el de un ángulo que se expresa en grados o en radianes.
Procedimiento:
- Se despeja la incógnita haciendo uso del procedimiento usado en las operaciones algebraicas; se deja la incógnita de un lado de la ecuación y se pasa todo lo demás al otro lado, haciendo la operación inversa.
- Como la incógnita se encuentra en el argumento de la función trigonométrica, para despejarla debemos hacer uso de la función arco, llamada también, función inversa.
- Si sen(x)=12→x=arcoseno(12)=30∘=π6
- En nuestras calculadoras se simbolizan las funciones sin,cos,tan y sus inversas sin−1,cos−1,tan−1
- Si no se especifica nada adicional, el resultado se halla entre 0 y 360º
Ejemplos:
→ Continuación del analizado arriba.- La solución hallada para: sen(x)=12, fue la de solo una parte, la que está en el primer cuadrante; pensamos, como el valor del seno es positivo, tenemos que hallar las soluciones positivas y... donde es positivo el seno? para no llenarnos la cabeza de tablas y cuadritos, hacemos uso de los gráficos y estudiamos su comportamiento.
Ahh, ok, el seno, graficado entre 0 y 2π, es positivo entre 0 y π, es decir, en el primer y segundo cuadrante y los puntos rojos representan las soluciones; de las cuales, solo tenemos un valor, π/6. El otro valor lo hallamos haciendo uso de la conversión del segundo al primer cuadrante: π−π/6=5π/6
. - Podemos verificar la solución haciendo uso de WolframAlpha, escribimos en la ventanita lo siguiente: "solve sinx = 1/2 for 0 < x < 2pi". te invito a que lo verifíques.
- la llevamos a un mismo tipo de función haciendo uso de las identidades básicas
- 2(1−cos2(x))+3cos(x)=0 => 2−2cos2(x)+3cos(x)=0 => 2cos2(x)−3cos(x)−2=0 => 2(cos(x))2−3cos(x)−2=0
- ésta última es una ecuación de segundo grado y de variable cos(x), la resolvemos como se resuelve cualquier ecuación de segundo grado.
- cos(x)=3±√9+164 => cos(x)=3±54 => cos(x)1=2 y cos(x)2=−12
- analizamos; el valor del coseno no puede ser mayor a 1.=> se descarta el valor 2 y se acepta el otro
- cos(x)=−12 => x=cos−1−12
- el coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante; por lo tanto, hallamos el valor de x como si el coseno estuviera en el primer cuadrante y luego llevamos ese valor a los cuadrantes respectivos.
- x1=60∘=π3 => x2=120∘=2π3 y x3=240∘=4π3
- la solución, que son los valores en el segundo y tercer cuadrante, pueden verificarse de la misma forma que antes, usando WolframAlpha con lo siguientes: "Solve 2sin^2x + 3cosx = 0 for 0 < x < 2pi"
- estos valores se repiten cada vez que se cumple un múltiplo de su período, que en el caso de senos y cosenos es de 2πn, en donde n es el número de períodos
- por lo anteriormente mencionado, la solución general sería: x2=2π3+2πnx3=4π3+2πn
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