Números Complejos 1

►Números Complejos Sesión 1  -  Puedes dejar un tweet comentario

 Antecedentes:

==>  Historia de los números: En este punto del conocimiento nos encontramos trabajando con los números reales, y hemos llegado hasta acá a partir de los "números para contar" y creando nuevos números según las necesidades. Puedes leer acerca de esta historia en este post: 01 Cartilla La Evolución de los Números

Se nos ha dicho hasta ahora, «la raiz cuadrada de un número negativo no existe en el campo de los números reales», y es cierto, no existe, entonces, tenemos la necesidad de inventar un nuevo número que, como no es real, entonces, es imaginario. Listo, problema solucionado, ahora las raices cuadradas, o por extensión, de índice par, de números negativos, es un número imaginario.

Los números reales se representan en un eje, una dimensión, lo que llamamos la "Recta Real"; los imaginarios los vamos a representar en otro eje perpendicular al anterior, formando un plano, dos dimensiones; exacto, igual que el sistema de coordenadas cartesianas. Este nuevo escenario es el "Plano Complejo" donde los reales estarán en el eje de las abscisas y los imaginarios en el eje de las ordenadas y entonces, cada punto del plano es un par ordenado y representa un número complejo formado por una parte real y una parte imaginaria. ¿Nada nuevo verdad?, eso lo sabemos por que ya trabajamos con vectores de posición y su representación en el plano como par ordenado.

Cada vez que conocíamos un nuevo número nos enseñaban sus propiedades, las diferentes reglas para poder trabajar con ellos en las operaciones básicas, sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. El procedimiento es el mismo, vamos a aprender a "jugar" ahora con los números complejos.

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Operaciones con números complejos:

El nuevo personaje que vamos a conocer es el número imaginario, identificado por la letra $i$, representada por el símbolo radical $\sqrt{\mathstrut  }$  con la cantidad sub radical de valor $-1$

$i=\sqrt{-1}$

Todo lo que necesitamos del número imaginario es conocer su comportamiento cuando es elevado a una potencia, observemos:

$i^0=1$ ; $i^1=i$ ; $i^2=-1$ ; $i^3=-i$ ; $i^4=1$ ; $i^5=i$ ; $i^6=-1$ ; $i^7=-i$ ......

 listo, solo toma cuatro valores, $1\,,i\,,-1\,,y\,,-i$, que corresponden a las potencias $0$ ; $1$ ; $2$  y  $3$, luego, para las sucesivas potencias, se repiten de manera periódica, como en trigonometría cuando el valor de la función senoidal se repetía después de pasar de los $360º$.

Para calcular el valor de $i$ elevado a una potencia mayor a $3$, muy sencillo, dividimos el valor de la potencia entre el período, que en este caso es cuatro, a diferencia de las funciones senoidales cuyo valor era de $360º$, y el residuo o resto de esa operación es menor que cuatro y por lo tanto, conocido.

• Hallar $i^\left(274\right)$  →  $\frac{274}{4}$  división inexacta, de cociente $68$ y resto $2$

        → $i^\left(274\right)=i^2=-1$   verifiquemos la división  $68*4+2=274$
        → verificar en Sage, escribes "I^274", sí, en mayúscula, y le das click a "evaluate"

• Conclusión: un número imaginario se simboliza como $ni$, donde $n$ representa un número real.

        → $3i$  ;  $\pi\,i$  ;  $\frac{3}{4}i$  ;  $\sqrt{3}\,i$   todos son números imaginarios. 

• Ya sabemos jugar con números imaginarios, y ya sabíamos jugar con números reales; ahora, reunimos ambos conocimientos para jugar con algo más bonito, los números complejos.

• Todo lo que vamos a ver a continuación se basa en los conceptos trigonométricos y las técnicas vectoriales ya conocidas, por lo tanto, no requieren de mayores detalles.

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