Números Complejos 2

►Números Complejos Sesión 2  -  Puedes dejar un tweet comentario

Operaciones con números complejos:  Continuación.

Representación: Los complejos se representan como $Z=a+bi$, en donde el sumando $a$ es la parte real, ubicada en el eje de las abscisas, y $bi$ es la parte imaginaria, ubicada en el eje de las ordenadas. La magnitud y su graficación es exactamente igual a la vista en las sesiones de vectores.

• Suma de complejos: Al igual que con la suma de vectores, vista en  el post Vectores 3, pero con los personajes $a$  y  $bi$.

          → Dados los componentes en cada uno de sus ejes

$Z_1+Z_2=(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=\left[(a_1+a_2),(b_1+b_2)\right]$

               solo sumar, algebraicamente, términos semejantes.

 

         → Dados como binomios.

$Z_1+Z_2=(a_1+b_1\,i)+(a_2+b_2\,i)=\left[(a_1+a_2)+(b_1\,i+b_2\,i)\right]$

              IDEM procedimiento anterior

• Multiplicación de complejos: La definición operacional o "receta de cocina" es:

        → Dados los componentes en cada uno de sus ejes

$Z_1Z_2=\left[(a_1a_2-b_1b_2),(a_1b_2+a_2b_1)\right]$

             "es otro complejo cuya parte real es, el producto de las partes reales, menos el producto de las partes imaginarias; y la parte imaginaria es el producto de la parte real del primero por la imaginaria del segundo más el producto de la parte imaginaria del primero por la real del segundo"

        → Dados como binomios.

             Se realiza de manera similar al producto de dos binomios, tomando en cuenta los signos y las potencias de $i$. Nada nuevo que decir, eso ya lo sabemos. ¿verdad?

       → Utilizando la notación trigonométrica o la forma polar de los complejos.

            Esto sí es nuevo, para ello tomamos el módulo del complejo $r=│Z│$

$r=│Z│=\sqrt{a^2+b^2}$    expresión conocida e igual al módulo de un vector.

 

            y el de su argumento 

$\theta=tan^\left(-1\right)=\displaystyle{\frac{b}{a}}$

 

           con lo que la expresión trigonométrica queda definida como:

$Z=r(Cos\theta+i\,Sen\theta)$  que abreviadamente sería   $Z=r\,Cis\,\theta$

y la forma polar se expresa como   $Z=(r,\theta)$

 

$Z_1Z_2=(r_1\,Cis\,\theta_1)(r_2\,Cis\,\theta_2)=r_1\,r_2\left[Cos(\theta_1+\theta_2)+i\,Sen(\theta_1+\theta_2)\right]$

         " es otro complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento, la suma de sus argumentos"

 

en consecuencia, el resultado podrá ser expresado también como

 

$Z_1Z_2=r_1\,r_2\,Cis(\theta_1+\theta_2)$   forma trigonométrica abreviada

$Z_1Z_2=\left[r_1\,r_2(\theta_1+\theta_2)\right]$   forma polar