Vectores 3

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Operaciones con vectores - continuación:

==>  Suma de vectores: Al conocer los números enteros, y posteriormente, el álgebra, para mí, dejó de existir la resta ó diferencia, solo existe la suma algebraica; claro, se hace más sencillo el trabajo, eliminamos una operación y nos concentramos en sumar elementos semejantes, tomando en cuenta su signo. 

Como corolario o consecuencia de lo anterior, y aplicado en el campo vectorial, para mí, no existe la diferencia de vectores, si no, la adición de vectores, tomando en cuenta su signo:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{CD})$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$

Entonces, ¿qué es sumar vectores?; es sumar elementos semejantes, tomando en cuenta su signo, y....
¿cuáles son los términos semejantes?; los componentes en cada uno de sus ejes.

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=[(AB_x-CD_x),(AB_y-BC_y)]$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=[(a_x-b_x),(a_y-b_y)]$

==>  Multiplicación de un escalar por un vector: Sabiendo que un escalar es un número, como lo vimos en Vectores 1, el resultado depende de si ese número es mayor; igual o menor que la unidad. Piensa el resultado.

El resultado es directamente proporcional al valor del escalar; en consecuencia, los componentes del vector resultante serán directamente proporcionales al escalar. 

Si tenemos un escalar nombrado $k$, entonces:

$k(\overrightarrow{AB})=(kAB_x,kAB_y)$   o   $k(\overrightarrow{a})=(ka_x,ka_y)$ 

==>  Igualdad de vectores: Siguiendo la misma lógica, dos elementos son iguales cuando sus componentes son iguales; por lo tanto, la igualdad de vectores se verifica si sus compnentes, en cada uno de los ejes de coordenadas son iguales, esto abarca hasta los vectores en el espacio o en tres dimensiones.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \rightarrow AB_x=CD_x \, y\, AB_y=CD_y$

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\rightarrow a_x=b_x\, y\, a_y=b_y$

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==>  Operaciones combinadas con vectores: Ponemos en práctica lo aprendido:

1. Dados los vectores

 $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{3},\frac{1}{3}\right)$  ;  $\overrightarrow{b}=(-2,-4)$  ;  $\overrightarrow{c}=\left(\frac{1}{2},a\right)$  ;  $\overrightarrow{d}=(4,-3)$.
Hallar el resultado de  $\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}\right)-\frac{2}{3}\left(5\overrightarrow{c}-8\overrightarrow{d}\right)$

•  Resolvemos organizadamente y de acuerdo a lo que nos indica los símbolos de agrupación; es decir, primero lo que está dentro de los paréntesis y el factor que los afecta, el escalar. Comenzamos con el sumando de la izquierda.

         $\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}\right)=\frac{1}{3}\left[\left(2\sqrt{3},\frac{2}{3}\right)+(-10,-20)\right]$          $=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left[(2\sqrt{3}-10),\left(\frac{2}{3}-20\right)\right]=\left[\left(\frac{2\sqrt{3}-10}{3}\right),\left(-\frac{58}{9}\right)\right]$

• Seguimos con el sumando de la derecha, pero resolvemos más directamente.

         $=\displaystyle{\frac{2}{3}}\left[\left(\frac{5}{2},5a\right)-(32,-24)\right]=\left[\left(-\frac{59}{3}\right),\left(\frac{10a+48}{3}\right)\right]$

• Para terminar, al sumando de la izquierda le sumamos el opuesto de la derecha, lo que "antes" conocíamos como "resta"

          $\left[\left(\displaystyle{\frac{2\sqrt{3}-10}{3}}\right),\left(-\displaystyle{\frac{58}{9}}\right)\right]+\left[\left(\displaystyle{\frac{59}{3}}\right),\left(\displaystyle{\frac{-10a-48}{3}}\right)\right]$

         $=\left[\left(\displaystyle{\frac{2\sqrt{3}+49}{3}}\right),\left(\displaystyle{\frac{-30a-202}{9}}\right)\right]$  █

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→ Usando Sage Cell

Nota:  Si tenemos dudas, acudimos a "San Sage Cell" para que nos informe sobre la veracidad o no de la respuesta que obtuvimos. les dejo el código de programación ya escrito, lo único diferente es que usé letras mayúsculas, lo cual no es estéticamente correcto, para simbolizar los vectores y evitar que se confunda con la variable $a$ usada en el ejercicio.

Si observan que los resultados "difieren" de los obtenidos, los invito a que verifiquen que ambos valores son equivalentes; acuérdense de las "fracciones equivalentes".

Lo único que tienen que hacer es....
click “Evaluate” para verificar.

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$\star\star\star\star\star\star\star$

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