Vectores 4

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Operaciones con vectores - continuación:

==>  Combinación lineal de vectores: Al obtener un vector como resultado del producto de un escalar por otro vector, podemos afirmar que ambos vectores son colineales; lo que significa que tienen la misma dirección, o que están sobre la misma recta. 

Definiciones:

• Si tenemos un vector $\overrightarrow{a}=(1,3)$, al multiplicarlo por un escalar, supongamos $2$,  obtenemos otro vector, $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=(2,6)$, que está en la misma dirección, y de magnitud el doble. Decimos entonces que ambos vectores son linealmente dependientes o colineales.

         → Analiticamente lo podemos verificar cuando al establecer las relaciones entre sus componentes me da un valor constante: $\frac{2}{1}=\frac{6}{3}=2$

• Los vectores son linealmente independientes cuando, simplemente, no cumplen con la definición anterior; es decir, no están sobre la misma recta y, en consecuencia, la relaciones entre sus componentes no da un valor constante. 

         → El vector $\overrightarrow{c}=(2,5)$ es linealmente independiente de los anteriores ya que

$\displaystyle{\frac{2}{1}\ne\frac{5}{3}}$  y   $\displaystyle{\frac{2}{2}\ne\frac{5}{6}}$

• Para combinar linealmente dos o más vectores, lo que hacemos es sumar los resultados de la multiplicación de cada uno de ellos por escalares que pueden ser de igual o diferentes valores. 

         También debemos saber que, por definición:

 "Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección."

         → vamos a tomar dos vectores que tengan distinta dirección, $\overrightarrow{b}$  y  $\overrightarrow{c}$, linealmente independientes, y vamos a multiplicar, cada uno, por diferentes escalares, por ejemplo, $2$  y  $3$.

        →  $2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$,  el resultado será un vector $\overrightarrow{d}$ que es combinación lineal de los anteriores. 

        → $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=(4,12)+(6,15)=(10,27)$  █

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• También podemos realizar el procedimiento inverso; determinar los valores de los escalares para que los vectores sean linealmente dependientes. En este caso vamos a hallar los valores de los escalares, que ya sabemos que son $2$  y  $3$, por lo que nos ayudamos de la definición de igualdad entre vectores.

        →  $(10,27)=k_1(2,6)+k_2(2,5)=(2k_1,6k_1)+(2k_2,5k_2)$

        → $(10,27)=\left[(2k_1+2k_2),(6k_1+5k_2)\right]$
            para que esta igualdad sea cierta, los componentes de los vectores deben ser iguales.

       →  $10=2k_1+2k_2$       y       $27=6k_1+5k_2$
            que representa a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es:

$k_1=2$   y   $k_2=3$ █

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→ Usando Sage Cell

Nota:  Si tenemos dudas, acudimos a "San Sage Cell" para que nos informe sobre la veracidad o no de la respuesta que obtuvimos. les dejo el código de programación ya escrito.

Lo único que tienen que hacer es....
click “Evaluate” para verificar.

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$\star\star\star\star\star\star\star$

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