Función Irracional

Esto es un applet creado con Geogebra para interactuar con la gráfica de la función irracional

$f(x)=a\sqrt{x-b}+c$  la cual está escrita en  $\LaTeX$

Los applet son pequeños programas escritos en Java, que se ejecutan en los navegadores (firefox, explorer, etc.) por lo tanto, debemos tener instalado Java para poder interactuar.
Si necesitas instalar Java puede hacerlo desde su página oficial haciendo aquí.

Los valores de a, b y c los podemos modificar usando los botones deslizables de arriba a la derecha y observando sus efectos en el comportamiento de la gráfica.

Anímate, interactúa, halla el Dominio para cada situación, encuentra también el Rango.
Tranquilo(a), no muerde.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Cómo Sumar Números Enteros Negativos

Cómo Sumar Números Enteros Negativos

Episodio_04_Post Original: The Math Dude por Jason Marshall - Traducido y adaptado por José Antonio

 
 El artículo de hoy te guiará en los primeros pasos para acabar con tu dependencia de la calculadora. Esto es algo que no podemos lograr en un solo artículo por lo que vamos a regresar, periódicamente, con este tema. Hoy vamos a resolver las cosas usando una recta numérica, en lugar de una calculadora, para ayudarte a mantener la atención.

 Revisión de enteros

  Pero antes de empezar a trabajar para romper ese hábito de la calculadora, repasemos brevemente lo que hablamos la última vez. El asunto más importante a tomar en cuenta fue el de combinar los números enteros negativos con los números naturales para que nos diera el muy importante grupo de números llamados enteros. Estos enteros se pueden organizar en una recta numérica con números negativos que se extienden infinitamente hacia la izquierda, cero en el medio, y números positivos que se extienden infinitamente a la derecha. Al final de el artículo pregunté si existía algún entero que no fuese ni positivo ni negativo. ¿Qué crees? Si sacas de la recta numérica a todos los números enteros positivos y negativos, ¿queda algún número entero? ¿Qué te parece ese extraño número justo en el medio? Sí, ése: el cero.

  ¿Cómo entender la recta numérica?

  Entonces, ¿qué hay de la otra pregunta ? ¿hallaste la manera de poner en orden los enteros $101$, $-1$, $32$ y $-2010$ de menor a mayor? Una vez que entiendas la recta numérica y cómo se relacionan entre sí los números positivos y negativos, esto no te debería ser demasiado difícil. El número $-2010$ es el más pequeño, ya que es el más negativo, le sigue $-1$, después $32$, y por último, $101$ es el más grande. Pero tal vez usted está pensando: ¿Cómo puede $-2010$ ser el más pequeño? Es un número bastante grande ... tiene cuatro dígitos !

  Bien, aquí tienes un consejo para ayudarte a mantener de manera correcta el tamaño relativo de los números. Piensa de nuevo en la recta numérica. Cualquier número a la izquierda de otro, en la recta numérica, es el menor de los dos. Aunque pudiera ser un número grande, que podría tener muchos dígitos, como un billón negativo, todavía es más pequeño que cualquier número situado a su derecha. Incluso al de un aparentemente insignificante número de un dígito como es el cero.

¿Cómo Terminar tu Dependencia con la Calculadora?

  Bueno, con todo lo que se ha cubierto, vamos a hablar de nuestra primera técnica para terminar con la dependencia con la calculadora. Ésta tiene como objetivo hacer más fácil la suma de enteros positivos y negativos. Digamos que necesitas resolver un problema como $-46 +16$. Su primera reacción podría ser la de tomar la calculadora y empezar a introducir los números. Sí, eso debería darte la respuesta correcta, pero se corre el riesgo de no entender la pregunta más importante que es por qué te dio la respuesta correcta. Y, si no entiendes el " por qué ", ¿cómo vas a saber si alguna vez has cometido algún gran error, y has compartido una ridícula, vergonzosa y equivocada respuesta con todo el mundo. Evite este riesgo y aprenda a resolver mentalmente el problema. De esa manera usted sabrá cuándo un resultado es dudoso.

  Visualiza la Recta Numérica 

  Vamos a comenzar nuestra tarea volviendo a la recta numérica y poniendo algunos sencillos ejemplos. En primer lugar, imagínate que estás parado en la marca cero de la recta numérica con todos los enteros negativos alineados a la izquierda y los positivos a la derecha. En serio, visualízalo, esto te ayudará si tienes una imagen mental de forma real. Tu recta numérica podría ser una playa, un campo de fútbol, un campo lleno de vacas, o cualquier otro lugar donde te sientas feliz. Sé que parece un poco tonto. Así es. Pero te va a ayudar a como usar la recta numérica para resolver problemas 

  Muy bien, vamos a poner un ejemplo súper sencillo: ¿Cuánto es $2 + 3$? Lo sé, lo sé. Te dije que iba a ser sumamente sencillo, así que finge por un momento en que no sabes la respuesta. Resulta que puedes usar tu imaginaria recta numérica como una especie de calculadora mental para ayudar a resolver problemas como éste.

  Así es como se hace. Comienza por imaginarte que estás de pie en la marca cero de la recta numérica. Como el primer número en el problema $2 + 3$ es dos positivo, caminas dos pasos en la dirección positiva, que está a tu derecha. Ahora estás parado en la posición "$2$". El segundo número de $2 + 3$ es tres positivo, así que caminas tres pasos adicionales en la dirección positiva. Ahora, échale un vistazo a la recta numérica y verás dónde has terminado. Por supuesto, estás en la posición "$5$". De tal manera que, y sé que esto no va a ser una gran sorpresa para ti, has calculado que 2 +3 = 5.

¿Cómo Trabajar con Números Negativos?

  Guao, ¿quién necesita una calculadora cuando se tiene una recta numérica, ¿eh? Bueno, está bien ... Sé que era un problema ridículamente fácil, y ni siquiera había algún número negativo en él. Así que aquí está cómo se trabaja con la adición de números positivos y negativos. En lugar de $2 + 3$, digamos que necesitas resolver el problema $-2 + 3$. Todavía es bastante simple, pero vamos a pensar cómo se trabaja con la recta numérica.

Una vez más, imagínate que estás en el cero de la recta numérica. Como el primer número de $-2 + 3$ es negativo dos, tienes que caminar dos pasos en el sentido negativo, que está a tu izquierda. Así que ahora estás en la posición marcada "$-2$". Ahora, ya que el segundo número en el problema $-2 + 3$ es $3$ positivo, caminarás tres pasos en el sentido positivo. Así que, a partir de "$-2$", marchas tres pasos en el sentido positivo y terminas en la posición "$1$". Felicitaciones! Has calculado que $-2 + 3 = 1$.

  Resumen

  Y ese es el truco para sumar números positivos y negativos . Es cierto, no es necesariamente tan útil por los ejemplos relativamente sencillos que hemos utilizado para demostrar el método. Pero puede ser muy útil al abordar problemas algo más complicados, como $3 + (-13) + 14 =?$ o tal vez $-9 + (-8) + (-3) + 7 =?$. Estos problemas pueden parecer, al principio, un poco más intimidantes, pero prueba resolverlos mentalmente y ve si te ayuda. Hazlo paso a paso, caminando en el sentido positivo o negativo según sea el signo del número.

  Vamos a tener las respuestas en el próximo capítulo, y a hablar de la ampliación de este método para incluir no sólo la adición de números negativos, sino además, la sustracción de éllos.

Cómo integrar Smart Boards, Pizarrones Inteligentes, en el aula

La integración de pizarras inteligentes en el aula puede ser una forma atractiva de enseñar a los estudiantes. Aquí están algunas ideas para la integración de pizarras inteligentes en el aula.


Traducción

Fuente - Idioma Inglés: Video:How to Integrate Smart Boards Into the Classroom
with Milo De Prieto
Traducción - Idioma Español: Google Traductor

Cómo Entender el Lenguaje de las Matemáticas

Cómo Entender el Lenguaje de las Matemáticas

Episodio_01_Post Original: The Math Dude por Jason Marshall - Traducido por José Antonio

 

  Introducción: 

  Hoy damos comienzo a una serie de artículos de Matemática Básica, originales en Inglés, y que, en la medida de lo posible, trataremos de traducir y ubicarlos en nuestro contexto educativo. Son posts muy bien redactados y sumamente didácticos que, consideramos, puedan servir de ayuda para entender a nuestra querida y nunca bien ponderada, Matemática.

  A continuación; el contenido del primer post de esta serie. Que les sirva de provecho.

  Este es nuestro primerísimo artículo del "Chamo Matemático", y en honor a eso vamos a volver a lo básico para responder algunas preguntas fundamentales acerca de las matemáticas, que te ayudará a evaluar el estado de tus relaciones con los números. Pero permítanme comenzar diciendo que, entiendo que las matemáticas puedan ser un tema muy espinoso para muchos de ustedes; claro, algunas personas las aman y son afortunadas de que sean algo natural en sus vidas. Si una de esas personas es usted, muy bien! pero si usted es como mucha gente que conozco que, con solo escuchar la palabra  'matemáticas' es suficiente para sentir náuseas; si ése es usted, entonces, no se preocupe, tenga la certeza de que podrá hacer cálculos matemáticos. Te llevará un poco de trabajo y dedicación, pero llegar a leer y escribir matemáticamente, es un reto que podrás superar. 

  ¿Por qué son Importantes las Matemáticas?

  Es muy probable que en algún momento tengas que presentar una prueba que se relacione con las matemáticas; tal vez una Prueba de Aptitud Académica, o usar las matemáticas en tu actual o futuro trabajo. Si desperdicias la oportunidad de corregir tus deficiencias matemáticas ahora, es posible que te arrepientas en el futuro cuando tus amigos y colegas empiecen a hablar de estadísticas y eso te haga sentir desorientado. Preocuparte por que no se den cuenta de tu desconocimiento no es muy gracioso, ¿así que por qué no te tomas un poquito de tiempo para aprender un poco de matemáticas? No te lo voy a endulzar, esto no siempre será fácil; pero sin duda, valdrá la pena. Y si lo hacemos bien, hasta podría ser divertido. No, no es un chiste... dije, ciertamente, divertido. 

  Cómo entender el lenguaje de las matemáticas

  Bueno, volvamos a hablar sobre tu relación con las matemáticas. ¿Tú Hablas matemática? ¿No estás seguro de lo que te pregunto? Bueno, las matemáticas son un idioma extranjero y, como cualquier otro idioma, tienes que hablarlo con soltura antes de que pueda utilizarlo de manera eficiente. Entonces, además de entenderla para presentar pruebas o para tu trabajo, ¿por qué quieres hablar matemática? ¿En qué me puede ser útil? 

  Piensa en las matemáticas como una caja de herramientas muy grande que te ayuda a resolver muchas cosas; cosas como, calcular la tasa de tus impuestos, hacer un presupuesto, construir un avión de papel, o un computador, o incluso los exploradores robóticos que orbitan alrededor de Marte. Claro, algunas de estas aplicaciones son más sofisticadas que otras, pero todas ellas están construidos sobre la misma base de conocimiento expresado con el lenguaje de las matemáticas. Por lo tanto, para desarrollar tu capacidad de hablar y entender este lenguaje, necesitas usar las herramientas matemáticas para conseguirlo. 

  Usted Puede Saber Más de lo que Cree.  

    Te tengo buenas noticias: lo más probable es que ya seas un comunicador matemático mucho más eficiente que lo que te imaginas. ¿No me crees? Te pongo un sencillo ejemplo para demostrártelo. Primero, necesito saber la cantidad de dinero que tienes en tu cartera. En serio, vamos, cuéntalo. ¿Ya? Bueno, ahora que sabes cuánto tienes, te voy a explicar: Nosotros dos estamos organizando una fiesta para esta noche, y necesito, urgentemente, comprar unas cosas en el supermercado. Tú has pensado en hacer una pizza barbacoa, así que, vamos a hacerla. Pero, hay un pequeño problema, no planifiqué bien, y mi nevera está completamente vacía. Necesitamos de todo, masa de pizza, salsa de tomate, queso, pepperoni, carbón, todo. Así que, te pregunto: Tomando en cuenta el dinero que tienes en tu cartera, si tuvieras que ir al supermercado, ahora mismo, para hacer estas compras, te alcanzaría ese dinero? 

  Bueno, supongamos que tienes más de diez años y que ya has hecho unas cuantas compras en tu vida, estimo que podrás responder esta pregunta sin mucho problema. De hecho, te apuesto a que te enfrentas a pequeños problemas como éste todos los días y, rara vez, o nunca, lo piensas dos veces para responderte. La mayor parte del tiempo lo resuelves de manera intuitiva, y sin duda, no necesitas usar ningún método de solución sistemática como la que estoy a punto de describirte. Ahora, sígueme un momento mientras te explico esto en detalle. No hay que pagar nada, te lo prometo. 

  ¿Cómo Resolver Los Problemas Matemáticos en la Vida Cotidiana?

  Independientemente de que lo hayas realizado antes, hay básicamente tres pasos que debes seguir para responder a este tipo de pregunta.

  En primer lugar, es necesario recurrir a tus experiencias adquiridas para estimar la cantidad de dinero que te va a costar cada artículo de tu  lista de compras. No tienes que ser súper preciso, sólo necesitamos valores aproximados y cercanos al dolar, conservo la moneda del post original. En este caso, me imagino, que el carbón costará alrededor de $5$, el queso y el pepperoni cerca de $3$ cada uno, y la masa de la pasta y la salsa de tomate alrededor de $2$ la unidad. 

  El segundo paso es reunir estas cantidades individuales para calcular el costo total de las compras. En este caso es bastante simple: $5$ más $3$ son $8$, más otros $3$ son $11$, más $2$ son $13$, y, finalmente, más otros US $2$ dan un total de $15$. 

  Bueno, el tercer y último paso que hay que dar para averiguar si  necesitas ir al banco antes que al supermercado, es el de comparar, el costo total estimado, con la cantidad de dinero que tienes en tu cartera. Si contaste $10$ dólares en tu cartera, $10$ < $15$ por lo que, definitivamente, tienes que ir primero al banco. Por otro lado; si tienes $20$ dólares, entonces, como $20$ > $15$, tendrás un montón de dinero para hacer las compras. 

  Todos Los Días Estás Haciendo Verdaderas Operaciones Matemáticas.

  Tal vez estás pensando: "Okey,  todo eso está bien, ahora puedo resolver un pequeño problema... ese, de todos modos,  ya sabía cómo resolverlo!" Bueno, no así exactamente. ¿Recuerdas que dije, que para que valga la pena, entraríamos en detalles con este sencillo problema? Aquí está pues; la verdad es que la parte matemática de este ejercicio no tenía absolutamente nada que ver con pizza o con el contenido de tu cartera. 

  La verdad es que, en la práctica, estábamos sumando  cantidades de dinero para ver si tenías fondos suficientes para realizar una transacción. Ahora, matemáticamente, estábamos estimando valores desconocidos y asignándolos a las variables,  realizando operaciones aritméticas con enteros, y resolviendo desigualdades. En otras palabras, estábamos haciendo verdaderas cosas matemáticas. ¿Sorprendido? Bueno, tal vez, pero espero que ahora sea evidente que, verdaderamente, la matemática se aplica a todas las cosas que haces cada día. Además, lo más importante, es que ya sabes cómo hacer muchas de éllas.

   Otra cosa. En lugar de comprar los ingredientes para una pizza, podríamos haber estado hablando sobre la compra de cocos con granos de café o de cualquier cosa. De hecho, en realidad, no tenemos que estar hablando de comprar nada; si no, de forma abstracta, sumar los números $5,\;3,\;3,\;2,\;y\;2$ y comprobar si la suma es menor que $20$. Claro, eso también habría funcionado porque las matemáticas se trabajan mejor sin ningún tipo de referencias del mundo real, los principios y los métodos son exactamente los mismos en ambos casos; y ésto, es algo muy poderoso; significa, que una vez que sabes como resolver un problema, basado en un conjunto de ideas, no sólo sabes cómo resolverlo; si no más bien, ahora conoces los principios generales subyacentes en él y por lo tanto, ya puedes resolver cualquier otro problema basado en estos principios. 

  ¿Por qué la Matemática puede ser confusa?

  Aunque poderosa, ese potencial que tiene la matemática para resolver problemas abstractos es también una de las cosas que pueden hacer confuso su aprendizaje. A menudo, un problema parece bastante sencillo cuando se pone en términos cotidianos, pero cuando el mismo tipo de problema se plantea en términos matemáticos, puramente abstractos, se parece a una bestia totalmente diferente; de manera que aquí tienes un consejo práctico: 

Cuando estés resolviendo un nuevo problema de matemáticas, si te estás enfrentado con la bestia abstracta del problema, recuerda que puedes convertirla en algo diferente con lo cual te sientas  más cómodo. 

En otras palabras, no dudes en transformar ese problema confuso pudiendo comparar el tamaño de un número con el resultado de la suma de una lista de otros números, o de lo que sea; de nuevo, con la pregunta acerca de los ingredientes para una pizza porque, en el fondo, son realmente la misma cosa. 

  Muy bien, espero que todo el mundo esté ansioso de empezar a hablar  matemática con fluidez. Por favor, mantente pendiente del próximo artículo donde vamos a comenzar con el aprendizaje de algunos fundamentos de matemáticas en este estudio de la Matemática Básica.

Recursos Educativos Abiertos

El futuro de la educación está en los Recursos Educativos Abiertos (REA)

¿Estamos ante el fin del libro de texto? El modelo de venta de materiales de aprendizaje con el objetivo de obtener beneficios económicos está rápidamente quedándose obsoleto en este nuevo mundo dominado por internet.

Estamos ante una realidad inobjetable para poder darle un extraordinario uso a todas las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC); tenemos acceso a toda la información colocada en Internet y podemos, de manera legal, acceder a élla.

Los REA son cualquier tipo de material educativo que se encuentre en el dominio público o publicado bajo una licencia libre de derechos de autor, vg. Creative Commons. Cualquier persona puede libremente y legalmente copiar, usar, adaptar y volver a compartir los REA, que incluyen libros de texto, apuntes, trabajos, exámenes, proyectos y materiales de audio y vídeo. Este término fue empleado con el nombre de "open courseware"  durante un foro de la UNESCO, de hace diez años conocido como Experts to Assess impact of Open Courseware for Higher Education. 

La utilización de Internet en la educación formal se hace imprescindible, debemos motivarnos para tomar un impulso y conocer todas las tecnologías que se nos presentan y sobre todo... Gratis..!!. En vez de comprar un libro, averiguemos si lo podemos conseguir en PDF o en ebook, preguntemos, indaguemos y veremos que al final somos mejores estudiantes ya que hemos usado la investigación para obtener un resultado que satisface nuestra economía.

Es nuestra intención la de colaborar, en todo lo posible, con la divulgación y mejor uso de estas tecnologías; por lo tanto, trataremos de exponer en los próximos posts las que consideremos más significativas.

 

Uso de los Símbolos de Comparación. Igualdades y Desigualdades

En este ejercicio se trata de usar adecuadamente los Símbolos de Comparación:

">" mayor que  ;  "<" menor que  ;  "=" igual a

"Largo":       → Se refiere a la cantidad de preguntas por cada sesión. Desde diez (10) hasta una cantidad abierta de preguntas.

"Nivel"         → El grado de dificultad; desde "2" hasta "50"

"Duración"   → La duración en minutos de cada sesión. Máximo de 30 minutos.

"Pausa"       → La posibilidad de pausar el lapso de resolución.

Se pueden realizar las operaciones individuales o combinadas e inclusive las de valor absoluto